Calculadora del Teorema de Pitágoras
Indica dos lados de un triángulo rectángulo y descubre el tercero. La herramienta también muestra los ángulos, el área y el perímetro del triángulo.
Uso educativo: los resultados son estimaciones hechas para estudio y consulta. Comprobar la respuesta y decidir qué hacer con ella es responsabilidad exclusiva de quien usa la herramienta. Lee el aviso legal.
En esta página
- Cómo usar
- El teorema dibujado
- La fórmula y cómo despejarla
- Ejemplos resueltos
- Pitágoras y los demás
- Ternas pitagóricas: números enteros que cierran la cuenta
- Cuidados al aplicarlo
- Dónde trabaja el teorema
- Cuando el resultado puede engañar
- Preguntas que casi siempre aparecen
- Detalles curiosos
- El vocabulario del triángulo rectángulo
- Más herramientas de geometría
Cómo usar
El teorema de Pitágoras solo vale para triángulos que tienen un ángulo de 90° (el ángulo recto). Si tu triángulo es así, el resto es sencillo:
- Elige lo que buscas: la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto, siempre el mayor) o un cateto (cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto).
- Escribe los dos lados que conoces, en la misma unidad.
- Calcula. El tercer lado aparece destacado, junto con los ángulos agudos, el área y el perímetro.
Si quieres la hipotenusa, indica los dos catetos. Si quieres un cateto, indica la hipotenusa y el otro cateto. Consejo de oro: la hipotenusa siempre es el mayor de los tres lados, y si el número que escribiste como hipotenusa es menor o igual que el cateto, la herramienta te avisará de que algo está mal.
El teorema dibujado
La versión más bonita del teorema es geométrica: el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Mira el caso del triángulo 3-4-5, en el que las áreas son 9 + 16 = 25.
La fórmula y cómo despejarla
De ella salen las tres formas que vas a usar:
a = √(c² − b²)
b = √(c² − a²)hipotenusa en la primera línea · catetos en las otras dos
Fíjate en que para hallar la hipotenusa los cuadrados se suman, y para hallar un cateto se restan. Es fácil de recordar: la hipotenusa es el lado mayor, así que es la que "recibe" la suma.
Otras cosas que salen del mismo triángulo
- Área = cateto a × cateto b ÷ 2 (los catetos ya son base y altura, porque son perpendiculares).
- Ángulos agudos: el ángulo opuesto al cateto a vale arctan(a ÷ b). El otro vale 90° menos el primero. En el 3-4-5, son unos 36,87° y 53,13°.
- Recíproco: si tres lados cumplen a² + b² = c², el triángulo es necesariamente rectángulo. Esto es muy útil para comprobar escuadras.
Ejemplos resueltos
1. La escalera en la pared
Una escalera de 5 m está apoyada en una pared, con el pie a 3 m de ella. ¿A qué altura de la pared llega?
La escalera llega a 4 m de altura.
2. La pantalla del televisor
Una pantalla tiene 48 pulgadas de ancho y 27 de alto. ¿Cuánto mide la diagonal, que es el número que se anuncia?
La diagonal es de unas 55 pulgadas, por eso ese televisor se vende como "de 55 pulgadas". (Y 48 × 27 es una proporción 16:9.)
3. La escuadra del albañil
Para comprobar si una esquina del piso es recta, se marcan 3 m en una pared, 4 m en la otra y se mide la distancia entre las marcas.
Si la medida da 5 m, la esquina es de 90°. Cualquier múltiplo funciona igual: 6-8-10, 9-12-15 y así sucesivamente.
4. La diagonal de un cuadrado
Cuadrado de lado 10 cm.
La diagonal de un cuadrado siempre vale lado × √2 (unas 1,414 veces el lado).
5. Distancia entre dos puntos
Dos puntos en un mapa cuadriculado: A (1, 2) y B (7, 10).
Es el mismo teorema, solo que disfrazado: la distancia en línea recta es la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos son las diferencias de x y de y.
Pitágoras y los demás
A pesar del nombre, el teorema es mucho más antiguo que Pitágoras (siglo VI a. C.). Una tablilla babilónica conocida como Plimpton 322 trae una lista de tríos de números que cumplen la relación, y textos indios y chinos también muestran el resultado, en algunos casos ligado a construcciones y a mediciones de tierras.
El mérito que se atribuye a la escuela de Pitágoras es haber convertido el resultado en una demostración, una justificación que vale para cualquier triángulo rectángulo, no solo para los ejemplos numéricos. Desde entonces, el teorema ha reunido cientos de demostraciones distintas, incluida una de un presidente de Estados Unidos, James Garfield, que la descubrió en 1876 cuando era congresista.
Ternas pitagóricas: números enteros que cierran la cuenta
Una terna pitagórica es un trío de números enteros que cumple a² + b² = c². Memorizar las primeras acelera mucho la resolución de problemas y exámenes.
| Catetos | Hipotenusa | Comprobación |
|---|---|---|
| 3 y 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 y 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 y 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 y 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
| 20 y 21 | 29 | 400 + 441 = 841 |
| 9 y 40 | 41 | 81 + 1.600 = 1.681 |
Cualquier múltiplo de una terna también es una terna: 6-8-10, 9-12-15, 10-24-26. Por eso el 3-4-5 es el favorito de los albañiles.
Cuidados al aplicarlo
Aplicarlo en un triángulo que no es rectángulo
El teorema solo vale con ángulo recto. Para triángulos cualesquiera se usa la ley de los cosenos, que contiene a Pitágoras como caso particular cuando el ángulo es de 90°.
Llamar hipotenusa al lado equivocado
La hipotenusa queda siempre "enfrente" del ángulo de 90° y es siempre el lado mayor. Cambiar los papeles da resultados absurdos.
Olvidar sacar la raíz
Al final de la suma o la resta de los cuadrados, falta extraer la raíz. Decir que la hipotenusa del 3-4-5 vale 25 (y no 5) es un clásico.
Sumar los catetos directamente
Con 3 y 4, la hipotenusa no es 7, sino 5. Sumar los lados da el camino "en L", y la hipotenusa es el atajo en línea recta, que siempre es más corto.
Restar en el orden equivocado
Para hallar un cateto, resta el cuadrado del cateto conocido al cuadrado de la hipotenusa. Hacerlo al revés da la raíz de un número negativo, lo que la herramienta detecta y avisa.
Dónde trabaja el teorema
- Construcción: comprobar escuadras, calcular la longitud de rampas, escaleras, cabios y diagonales de arriostramiento.
- Pantallas y monitores: relacionar ancho, alto y diagonal.
- Navegación y mapas: distancia en línea recta entre dos puntos de un plano.
- Juegos y gráficos por computadora: medir distancias entre personajes y objetos.
- Deportes: la longitud de la diagonal de un campo o una cancha.
- Física: composición de vectores perpendiculares, como la velocidad de un bote en una corriente.
Cuando el resultado puede engañar
El teorema es exacto, pero la precisión del resultado depende de la precisión de las medidas que escribiste. Una medida de escalera con un error de 2 cm, por ejemplo, cambia el resultado. En obras e instalaciones, confirma las medidas y la escuadra de forma independiente.
La herramienta muestra los resultados con hasta seis decimales e identifica ternas pitagóricas solo cuando los tres lados son números enteros. No verifica si el triángulo de tu problema realmente es rectángulo: esa comprobación es responsabilidad de quien la usa.
En resumen: esta herramienta es educativa. Los resultados no sustituyen tu propia comprobación, y el uso que hagas de ellos es de tu entera responsabilidad. Más detalles en el aviso legal.
Preguntas que casi siempre aparecen
¿Qué dice el teorema de Pitágoras?
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a² + b² = c².
¿Qué es la hipotenusa y qué son los catetos?
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y el mayor del triángulo. Los catetos son los dos lados que forman el ángulo recto.
¿Cómo calcular un cateto conociendo la hipotenusa?
Usa b = √(c² − a²). Por ejemplo, con hipotenusa 13 y cateto 5: √(169 − 25) = √144 = 12.
¿El teorema vale para cualquier triángulo?
No, solo para triángulos rectángulos. Para otros triángulos se usa la ley de los cosenos.
¿Cómo saber si un triángulo es rectángulo solo por los lados?
Comprueba si el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos. Con 6, 8 y 10: 36 + 64 = 100, así que es rectángulo.
¿Qué es una terna pitagórica?
Un trío de números enteros que cumple a² + b² = c², como 3-4-5, 5-12-13 y 8-15-17.
¿Cómo calcular la diagonal de un rectángulo?
Trata los lados como catetos: diagonal = √(largo² + ancho²). Un rectángulo de 4 × 3 tiene diagonal 5.
¿Cómo calcular la diagonal de un cuadrado?
Multiplica el lado por √2 (aproximadamente 1,4142). Un cuadrado de lado 10 tiene una diagonal de unos 14,14.
¿Por qué la herramienta muestra ángulos?
Porque, una vez conocidos los tres lados, los ángulos agudos salen directamente por trigonometría (arcotangente). Es un extra para quien estudia también seno y coseno.
¿Por qué no funcionó con mi hipotenusa menor que el cateto?
Porque la hipotenusa es siempre el lado mayor del triángulo rectángulo. Si el valor escrito es menor o igual que el cateto, los datos son imposibles, y la herramienta avisa.
Detalles curiosos
- El mundo agradece el √2. La diagonal de un cuadrado de lado 1 vale √2, el primer número irracional descubierto. La tradición cuenta que el descubrimiento causó incomodidad en la escuela pitagórica, que creía que todo se podía expresar con razones de enteros.
- Ternas infinitas. Existe un número infinito de ternas pitagóricas, y una fórmula (de Euclides) genera todas las primitivas: a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n².
- En tres dimensiones, la diagonal de una caja de aristas a, b y c vale √(a² + b² + c²), una extensión directa del teorema.
El vocabulario del triángulo rectángulo
- Triángulo rectángulo
- Triángulo que tiene un ángulo de 90°.
- Hipotenusa
- Lado opuesto al ángulo recto. Siempre es el lado mayor del triángulo rectángulo.
- Cateto
- Cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto.
- Terna pitagórica
- Tres números enteros positivos a, b y c con a² + b² = c².
- Raíz cuadrada
- Operación inversa del cuadrado: √25 = 5 porque 5² = 25.
- Ángulo agudo
- Ángulo menor que 90°. El triángulo rectángulo tiene dos.
- Arcotangente
- Función que, dada la razón entre dos catetos, devuelve el ángulo correspondiente.