Calculadora do Teorema de Pitágoras
Informe dois lados de um triângulo retângulo e descubra o terceiro. A ferramenta também mostra os ângulos, a área e o perímetro do triângulo.
Uso educativo: os resultados são estimativas feitas para estudo e consulta. Conferir a resposta e decidir o que fazer com ela é responsabilidade exclusiva de quem usa a ferramenta. Leia o aviso legal.
Nesta página
- Como usar
- O teorema desenhado
- A fórmula e como virar dela
- Exemplos resolvidos
- Pitágoras e os outros
- Ternos pitagóricos: números inteiros que fecham a conta
- Cuidados na hora de aplicar
- Onde o teorema trabalha
- Quando o resultado pode enganar
- Perguntas que quase sempre aparecem
- Detalhes curiosos
- O vocabulário do triângulo retângulo
- Mais ferramentas de geometria
Como usar
O teorema de Pitágoras só vale para triângulos que têm um ângulo de 90° (o ângulo reto). Se o seu triângulo é assim, o resto é simples:
- Escolha o que procura: a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto, sempre o maior) ou um cateto (cada um dos dois lados que formam o ângulo reto).
- Digite os dois lados que você conhece, na mesma unidade.
- Calcule. O terceiro lado aparece em destaque, junto com os ângulos agudos, a área e o perímetro.
Se você quer a hipotenusa, informe os dois catetos. Se você quer um cateto, informe a hipotenusa e o outro cateto. Dica de ouro: a hipotenusa sempre é o maior dos três lados, e se o número que você digitou como hipotenusa for menor ou igual ao cateto, a ferramenta vai avisar que algo está errado.
O teorema desenhado
A versão mais bonita do teorema é geométrica: a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Veja o caso do triângulo 3-4-5, em que as áreas são 9 + 16 = 25.
A fórmula e como virar dela
Dela saem as três formas que você vai usar:
a = √(c² − b²)
b = √(c² − a²)hipotenusa à primeira linha · catetos nas outras duas
Repare que para achar a hipotenusa os quadrados se somam, e para achar um cateto eles se subtraem. É fácil lembrar: a hipotenusa é o lado maior, então é ela que "recebe" a soma.
Outras coisas que saem do mesmo triângulo
- Área = cateto a × cateto b ÷ 2 (os catetos já são base e altura, porque são perpendiculares).
- Ângulos agudos: o ângulo oposto ao cateto a vale arctan(a ÷ b). O outro vale 90° menos o primeiro. Nos 3-4-5, são cerca de 36,87° e 53,13°.
- Recíproco: se três lados satisfazem a² + b² = c², o triângulo é necessariamente retângulo. Isso é muito útil para conferir esquadros.
Exemplos resolvidos
1. A escada na parede
Uma escada de 5 m está apoiada em uma parede, com o pé a 3 m dela. A que altura da parede ela encosta?
A escada encosta a 4 m de altura.
2. A tela da televisão
Uma tela tem 48 pol de largura e 27 pol de altura. Quanto mede a diagonal, que é o número anunciado?
A diagonal é de cerca de 55 polegadas, por isso essa TV é vendida como "55 polegadas". (E 48 × 27 é uma proporção 16:9.)
3. O esquadro do pedreiro
Para conferir se um canto de piso é reto, marca-se 3 m numa parede, 4 m na outra e mede-se a distância entre as marcas.
Se a medida der 5 m, o canto é de 90°. Qualquer múltiplo funciona igual: 6-8-10, 9-12-15 e assim por diante.
4. A diagonal de um quadrado
Quadrado de lado 10 cm.
A diagonal de um quadrado sempre vale lado × √2 (cerca de 1,414 vezes o lado).
5. Distância entre dois pontos
Dois pontos num mapa quadriculado: A (1, 2) e B (7, 10).
É o mesmo teorema, só que disfarçado: a distância em linha reta é a hipotenusa de um triângulo cujos catetos são as diferenças de x e de y.
Pitágoras e os outros
Apesar do nome, o teorema é bem mais antigo que Pitágoras (século VI a.C.). Uma tábua babilônica conhecida como Plimpton 322 traz uma lista de trios de números que satisfazem a relação, e textos indianos e chineses também mostram o resultado, em alguns casos ligado a construções e a medições de terras.
O mérito atribuído à escola de Pitágoras é o de ter transformado o resultado em uma demonstração, uma justificativa que vale para qualquer triângulo retângulo, não só para os exemplos numéricos. Desde então, o teorema ganhou centenas de demonstrações diferentes, incluindo uma de um presidente dos Estados Unidos, James Garfield, que a descobriu em 1876 enquanto era deputado.
Ternos pitagóricos: números inteiros que fecham a conta
Um terno pitagórico é um trio de números inteiros que satisfaz a² + b² = c². Decorar os primeiros acelera muito a resolução de problemas e provas.
| Catetos | Hipotenusa | Conferência |
|---|---|---|
| 3 e 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 e 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 e 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 e 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
| 20 e 21 | 29 | 400 + 441 = 841 |
| 9 e 40 | 41 | 81 + 1.600 = 1.681 |
Qualquer múltiplo de um terno também é um terno: 6-8-10, 9-12-15, 10-24-26. Por isso o 3-4-5 é o preferido dos pedreiros.
Cuidados na hora de aplicar
Aplicar em triângulo que não é retângulo
O teorema só vale com ângulo reto. Para triângulos quaisquer, usa-se a lei dos cossenos, que contém Pitágoras como caso particular quando o ângulo é de 90°.
Chamar de hipotenusa o lado errado
A hipotenusa fica sempre "de frente" para o ângulo de 90° e é sempre o maior lado. Trocar os papéis dá resultados absurdos.
Esquecer de tirar a raiz
No fim da soma ou da subtração dos quadrados, falta extrair a raiz. Dizer que a hipotenusa do 3-4-5 vale 25 (e não 5) é um clássico.
Somar os catetos direto
Em 3 e 4, a hipotenusa não é 7, e sim 5. Somar os lados dá o caminho "em L", e a hipotenusa é o atalho em linha reta, que é sempre mais curto.
Subtrair na ordem errada
Para achar um cateto, subtraia o quadrado do cateto conhecido do quadrado da hipotenusa. Fazer o contrário dá raiz de número negativo, o que a ferramenta detecta e avisa.
Onde o teorema trabalha
- Construção: conferir esquadro, calcular o comprimento de rampas, escadas, caibros e diagonais de contraventamento.
- Telas e monitores: relacionar largura, altura e diagonal.
- Navegação e mapas: distância em linha reta entre dois pontos de um plano.
- Jogos e computação gráfica: medir distâncias entre personagens e objetos.
- Esportes: o comprimento da diagonal de um campo ou quadra.
- Física: composição de vetores perpendiculares, como velocidade de um barco em uma correnteza.
Quando o resultado pode enganar
O teorema é exato, mas a precisão do resultado depende da precisão das medidas que você digitou. Uma medida de escada com erro de 2 cm, por exemplo, muda o resultado. Em obras e instalações, confirme as medidas e o esquadro de forma independente.
A ferramenta mostra os resultados com até seis casas decimais e identifica ternos pitagóricos apenas quando os três lados são números inteiros. Ela não verifica se o triângulo do seu problema realmente é retângulo: essa checagem é responsabilidade de quem usa.
Resumindo o combinado: esta ferramenta é educativa. Os resultados não substituem conferência própria, e o uso que você faz deles é de sua inteira responsabilidade. Mais detalhes no aviso legal.
Perguntas que quase sempre aparecem
O que diz o teorema de Pitágoras?
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a² + b² = c².
O que é hipotenusa e o que são catetos?
A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e o maior do triângulo. Os catetos são os dois lados que formam o ângulo reto.
Como calcular um cateto conhecendo a hipotenusa?
Use b = √(c² − a²). Por exemplo, com hipotenusa 13 e cateto 5: √(169 − 25) = √144 = 12.
O teorema vale para qualquer triângulo?
Não, só para triângulos retângulos. Para outros triângulos, usa-se a lei dos cossenos.
Como saber se um triângulo é retângulo só pelos lados?
Verifique se o quadrado do maior lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois. Com 6, 8 e 10: 36 + 64 = 100, então é retângulo.
O que é um terno pitagórico?
Um trio de números inteiros que satisfaz a² + b² = c², como 3-4-5, 5-12-13 e 8-15-17.
Como calcular a diagonal de um retângulo?
Trate os lados como catetos: diagonal = √(comprimento² + largura²). Um retângulo 4 × 3 tem diagonal 5.
Como calcular a diagonal de um quadrado?
Multiplique o lado por √2 (aproximadamente 1,4142). Um quadrado de lado 10 tem diagonal de cerca de 14,14.
Por que a ferramenta mostra ângulos?
Porque, depois de conhecer os três lados, os ângulos agudos saem direto por trigonometria (arco tangente). É um bônus para quem estuda também seno e cosseno.
Por que não deu certo com minha hipotenusa menor que o cateto?
Porque a hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo. Se o valor digitado é menor ou igual ao cateto, os dados são impossíveis, e a ferramenta avisa.
Detalhes curiosos
- O mundo agradece o √2. A diagonal de um quadrado de lado 1 vale √2, o primeiro número irracional descoberto. A tradição conta que a descoberta causou desconforto na escola pitagórica, que acreditava que tudo podia ser expresso por razões de inteiros.
- Ternos infinitos. Existe um número infinito de ternos pitagóricos, e uma fórmula (de Euclides) gera todos os primitivos: a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n².
- Em três dimensões, a diagonal de uma caixa de arestas a, b e c vale √(a² + b² + c²), uma extensão direta do teorema.
O vocabulário do triângulo retângulo
- Triângulo retângulo
- Triângulo que tem um ângulo de 90°.
- Hipotenusa
- Lado oposto ao ângulo reto. É sempre o maior lado do triângulo retângulo.
- Cateto
- Cada um dos dois lados que formam o ângulo reto.
- Terno pitagórico
- Três números inteiros positivos a, b e c com a² + b² = c².
- Raiz quadrada
- Operação inversa do quadrado: √25 = 5 porque 5² = 25.
- Ângulo agudo
- Ângulo menor que 90°. O triângulo retângulo tem dois deles.
- Arco tangente
- Função que, dada a razão entre dois catetos, devolve o ângulo correspondente.